मर्यादेचा तर्क आणि तर्काची मर्यादा

Kurt Godel

येन ज्ञातेन सर्वमिदं विज्ञातं भवेत् ? हा मला कमीतकमी हडप्पा काळापासून पडलेला प्रश्न आहे. जसजसे आपण मोठे होतो, तसतसे या जगाबद्दलच्या जन्मजात उत्सुकतेला एक वेगळे परिमाण लाभते. आधीची “उत्सुकतेसाठीची उत्सुकता” कमी होऊन काही विशिष्ट हेतूसाठी ज्ञान संपादन करण्याची वृत्ती बळावते . पण याचीदेखील एक सीमा आहे. शेवटी ज्ञानाच्या बाबतीत तर “रात्र थोडी सोंगे फार” अशीच परिस्थिती आहे. पण ती सीमा नेमकी कुठे आणि कशी आहे? अख्खे विश्व पादाक्रांत करणे तर सोडाच, पण ते जाणणे तरी शक्य आहे का? संशोधक सांगतात, की या विश्वात सुमारे १०० अब्ज आकाशगंगा आहेत . त्यातील प्रत्येक आकाशगंगेत सुमारे शंभरेक अब्ज सूर्यमाला आणि प्रत्येक सूर्यमालेत साधारणपणे १०-१५ ग्रहगोल. आणि त्यातल्या कुठल्या तरी एका ग्रहावरच्या पृष्ठभागाच्या निव्वळ २९ टक्के असलेल्या भूभागावर राहणारे असंख्य जीव. त्यात ५-६ अब्ज माणसे, त्यातल्या ७ खंडांमधील एका खंडातल्या कोणत्या तरी देशात, त्या देशातील अनेक राज्यांपैकी एकातल्या हजारो गावांपैकी एका गावातल्या अनेक लोकांपैकी एक आपण . ह्या कल्पनातीत पसार्याचे आकलन आपण कधी आणि कसे करू शकणार आहोत? आपण मेलो काय किंवा जगलो काय, आपली सूर्यमाला सोडाच, आपल्या गावाला तरी काय फरक पडणार आहे? आपण हा अवाढव्य पसारा कल्पनेने तरी जाणून घेऊ शकू का? ह्या आणि अशाच प्रश्नांनी लोकांना घेरले , आणि “ज्ञानाचे ज्ञान” उर्फ तत्वज्ञान हे उगम पावले. प्रत्यक्ष ज्ञानाची तहान त्यांनी शेवटी तत्वज्ञानावर भागविली.

किमान त्याद्वारे तरी आपण जे काही जाणून घेऊ , ते तरी सत्य असेल का? प्रत्येक तत्वज्ञाने आपलेच तत्वज्ञान कसे खरे आणि परिपूर्ण आहे, हे सांगण्याचा भरपूर प्रयत्न केला . प्रत्यक्ष ज्ञानाला तर्काची मर्यादा घातली, आणि या मर्यादेत तरी जे ज्ञान मिळेल, ते परिपूर्ण असेल, अशी वेडी अशा करीत बसले. न्यूटन, ऑयलर, कॅन्तोर, रसेल इत्यादी गणित आणि तर्कशास्त्रातील काही महान हस्तींमुळे हे स्वप्न साकार होऊ शकेल , अशी आशा लोकांना वाटू लागली. त्यात २० व्या शतकाच्या सुरुवातीला हिल्बर्टने तर मोठेच काम करून ठेवले. बाह्य जगताचे आकलन करण्याचे मुख्य साधन म्हणजे भौतिक, रसायन आदि शास्त्रे आणि त्या शास्त्रांना एक शिस्त लावण्याचे काम करणारा पोलीस म्हणजे गणित. त्याची महत्वाकांक्षा अशी होती, की गणिताद्वारे कोणतेही सत्य विधान हे सिद्ध करणे शक्य झाले पाहिजे. म्हणजे तर्क आणि सत्य यांमधला दुवा अखेर सांधला गेला, की संपले .

गणिती लोक वाटच पाहत होते या मंथनातून काय निघतंय त्याची. बर्ट्रांड रसेल आणि आल्फ्रेड व्हाईटहेड यांनी “Principia Mathematica ” ह्या अनेक खंडी ग्रंथातून गणिताचे एक असे स्वरूप, एक असा ढाचा विकसित करण्याचा प्रयत्न केला, पण कुठेतरी शंकेची एक छोटीशी पाल चुकचुकत होती. रसेलच्या गदारोळापुढे तिकडे कोणी फारसे लक्ष दिले नाही सुरुवातीला, पण कुठेतरी ही शंका दृढमूल होत होती.

आणि अखेर तो क्षण आलाच. कर्ट गोडेलने या सुंदर दिवास्वप्नाचा असा काही विध्वंस केला, की ज्याचे नाव ते. १९३१ सालानंतर गणितीय जगतात त्याने अशी अभूतपूर्व खळबळ उडविली, की गणिताचा दृष्टीकोनच बदलला. असे त्याने केले तरी काय? ते अगदी थोडक्यात पाहू.

समजा, एक मशीन आहे की जे जगातील कोणत्याही प्रश्नाचे अचूकपणे उत्तर देऊ शकते.त्या मशीनला UTM – ultimate truth machine म्हणू. तर त्या मशीन चा प्रोग्राम हा कितीही गुंतागुंतीचा का असेना, finite च असणार. आता डोक्याला जरासा त्रास द्या- फार नाही- आणि हे वाक्य बघा.

UTM चा प्रोग्राम वापरून बनविलेले मशीन कधीही म्हणणार नाही की हे विधान सत्य आहे . ह्याला “G ” असे नाव द्या.

आता, G हे विधान असेही लिहिता येईल: G विधान सत्य आहे असे UTM कधीही म्हणणार नाही

आता आपण त्या UTM ला १ साधा प्रश्न विचारू: G हे विधान सत्य आहे की असत्य? जर G हे विधान सत्य असेल, तर
“G विधान सत्य आहे असे UTM कधीही म्हणणार नाही ” हे विधान असत्य होईल. जर तसे असेल, तर G हे विधान असत्य होईल. म्हणजे UTM ने असत्य विधान केले! पण असे तर होऊ शकत नाही. त्यामुळे “G विधान सत्य आहे असे UTM कधीही म्हणणार नाही ” हे विधान सत्य आहे, त्याचाच अर्थ असा की G हे विधान देखील सत्य आहे !

याचा सारांश असा, की UTM सारखे मशीन, जे कोणतेही सत्य विधान सिद्ध करू शकते, त्यासाठी आपण एक सत्य विधान असे शोधून काढले, की जे त्याला सिद्ध करता येत नाही.

वेगळ्या शब्दात सांगायचे झाले, तर काही विधाने सत्य असली, तरी ती सिद्ध करता येत नाहीत. आता तुम्ही म्हणाल यात काय नवीन? हे आम्हाला वाटत होतंच आधीपासून. पण तार्किक ज्ञानाची मर्यादा याआधी कोणीही अशी भर बाजारात उघडपणे सिद्ध नव्हती केली . तर्क वापरूनच तर्काची मर्यादा सिद्ध करणारा हा पाहिला गणिती शिलेदार गोडेल होय.

त्यामुळे जेव्हा मी गोडेल वाचला, तेव्हापासून मला कोणी जर अमुक गोष्टीला proof काय? असे विचारले, की सर्वात आधी हसू येते आणि त्या तर्कलोलुपतेची कीव देखील येते! त्यामुळे जर तार्किक ज्ञानालादेखील अशी जबरदस्त मर्यादा आहे, तर त्याचा उपयोग तो काय? तर्क हा शेवटी एक उपयुक्त बॉडीगार्ड आहे , पण त्यापलीकडे त्याचे महत्व नाही. तस्मात जर कुणाला हे आर्टिकल वाचून वैताग आला असेल, आणि जर मला ४ “शेलके साज” चढविण्याची इच्छा असेल, तर मला आधीपासूनच माहित आहे ते, सिद्ध करण्याची जरुरी नाही!

P.S.:- The web link for reasoning about Godel’s theorem in this post was suggested by my computer scientist friend Pratik a.k.a. Patrick Deoghare . The link for his blog is here.

Advertisements
This entry was posted in गणित आणि गणिती. Bookmark the permalink.

6 Responses to मर्यादेचा तर्क आणि तर्काची मर्यादा

  1. Nikhil Sheth म्हणतो आहे:

    next article?

  2. पिंगबॅक Tweets that mention मर्यादेचा तर्क आणि तर्काची मर्यादा | Manogate's Blog -- Topsy.com

प्रतिक्रिया व्यक्त करा

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / बदला )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / बदला )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / बदला )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / बदला )

Connecting to %s